在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)．記過三個交點(diǎn)的圓為圓C.

(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(2)求圓C的方程；

(3)圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(與b的取值無關(guān))？證明你的結(jié)論．

 

（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必過定點(diǎn)(－2，1)

【解析】(1)令x＝0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一個根為b，代入得E＝－b－1，所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

(3)圓C必過定點(diǎn)(0，1)，(－2，1)．

證明：將(0，1)代入圓C的方程，得左邊＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右邊＝0，所以圓C必過定點(diǎn)(0，1)；同理可證圓C必過定點(diǎn)(－2，1)．

 

練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G：x2＋y2＝(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N.

(1)若橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)c為定值時，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)E，并求·的值(O是坐標(biāo)原點(diǎn))；

(3)若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.

 

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是____________．

 

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圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為________．

 

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已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，則2x－y的最大值為________，最小值為________．

 

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點(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

 

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點(diǎn)(1，cosθ)(其中0≤θ≤π)到直線xsinθ＋ycosθ－1＝0的距離是，那么θ等于________．

 

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若直線l經(jīng)過直線2x－y＋3＝0和3x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線y＝2x－1，則直線l的方程為______________．

 

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓＝1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；

(2)當(dāng)k＝2時，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB..

 

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