(12分)已知圓
及定點(diǎn)
,點(diǎn)Q是圓A上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)G在BQ上,點(diǎn)P在QA上,且滿足
,
=0.
(I)求P點(diǎn)所在的曲線C的方程;
(II)過點(diǎn)B的直線
與曲線C交于M、N兩點(diǎn),直線
與y軸交于E點(diǎn),若
為定值。
(I)
+
y2=1;(ⅡI)見解析.
(1)由
,
=0得
垂直平分線段
,
即
,所以
,根據(jù)橢圓的定義得曲線C的方程;
(2)利用點(diǎn)M、N在橢圓上,
,
可得到
,
.
,
是方程
的兩個(gè)根,∴
.
也可以設(shè)出直線
的方程,與橢圓
的方程聯(lián)立,求出
,
.由
,
可得到
,
整理
∵
,
=0∴
垂直平分線段
,
即
,所以
,由橢圓定義:
曲線
C的方程為
+
y2=1 5分
(Ⅱ)證法1:設(shè)
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
又易知
點(diǎn)的坐標(biāo)為
.且點(diǎn)
B在橢圓
C內(nèi),故過點(diǎn)
B的直線
l必與橢圓
C相交.
∵
,∴
.
∴
,
. 7分
將
M點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中得:
,
去分母整理,得
. 10分
同理,由
可得:
.
∴
,
是方程
的兩個(gè)根,
∴
. 12分
(Ⅱ)證法2:設(shè)
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,又易知
點(diǎn)的坐標(biāo)為
.且點(diǎn)
B在橢圓
C內(nèi),故過點(diǎn)
B的直線
l必與橢圓
C相交.
顯然直線
的斜率存在,設(shè)直線
的斜率為
,則直線
的方程是
.
將直線
的方程代入到橢圓
的方程中,消去
并整理得
. 8分
∴
,
.
又 ∵
,
則
.∴
,
同理,由
,∴
. 10分
∴
. 12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知橢圓
的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為
、
、
,我們稱
為橢圓
的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓
和
,判斷
與
是否相似,如果相似則求出
與
的相似比,若不相似請說明理由;
(2)若與橢圓
相似且半短軸長為
的橢圓為
,且直線
與橢圓為
相交于兩點(diǎn)
(異于端點(diǎn)),試問:當(dāng)
面積最大時(shí),
是否與
有關(guān)?并證明你的結(jié)論.
(3)根據(jù)與橢圓
相似且半短軸長為
的橢圓
的方程,提出你認(rèn)為有價(jià)值的相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)橢圓的方程為
,過右焦點(diǎn)且不與
軸垂直的直線與橢圓交于
,
兩點(diǎn),若在橢圓的右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)
,使
為正三角形,則橢圓的離心率的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
過橢圓
上一點(diǎn)
作圓
的兩條切線,點(diǎn)
為切點(diǎn).過
的直線
與
軸,
軸分別交于點(diǎn)
兩點(diǎn), 則
的面積的最小值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若橢圓
上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4,那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于_______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(12分) 已知A(m,o),
2,橢圓
=1,p在橢圓上移動(dòng),求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知橢圓
的上頂點(diǎn)為
,離心率為
,若不過點(diǎn)
的動(dòng)直線
與橢圓
相交于
、
兩點(diǎn),且
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)求證:直線
過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
橢圓
有公共的焦點(diǎn)F
1,F(xiàn)
2,P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),則
=( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知P是橢圓
上的一點(diǎn),
是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若
的內(nèi)切圓的半徑為
,則
( )
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