Question

已知平面內(nèi)有一個(gè)五邊形ABCEF，且關(guān)于線段BC對(duì)稱（如圖1所示），F(xiàn)E⊥CE，BF=FE=1，CB=CE=

3

，沿BC將平面ABCD折起，使平面ABCD⊥平面ECBF，連接AF、DE、AE得到如圖2所示的幾何體．
（1）證明：DE∥平面AFB；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：幾何法：
（1）作DQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，連接EQ．由已知條件得EQ∥FB．所以DQ∥面AFB．同理：EQ∥面AFB．由此能證明DE∥平面AFB．
（2）延長(zhǎng)DA、CB、EF，必交于一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DG于點(diǎn)H，連接HF．由已知條件得∠BHF是二面角E-AD-B的平面角．由此能求出二面角E-AD-B的余弦值．
向量法：
（1）B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE∥平面AFB．
（2）分別求出平面ADEF的一個(gè)法向量和面ABCD的一個(gè)法向量，由此能求出二面角E-AD-B的余弦值．

解答： 幾何法：
（1）證明：如圖，作DQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，連接EQ．
∵五邊形ABCEF關(guān)于線段BC對(duì)稱，
∴EQ∥FB．
又DQ?面ABF，AB?面ABF，
∴DQ∥面AFB．同理：EQ∥面AFB．
又DQ∩EQ=Q，∴面DEQ∥面ABF．而DE?面DEQ，
∴DE∥平面AFB．
（2）解：∵五邊形ABCEF關(guān)于線段BC對(duì)稱，
∴圖（2）中延長(zhǎng)DA、CB、EF，必交于一點(diǎn)G，
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DG于點(diǎn)H，連接HF．
又由五邊形ABCEF關(guān)于線段BC對(duì)稱知BF⊥BC，AB⊥BC，
而平面ABCD⊥平面ECBF，
∴FB⊥平面ECBF．∴∠BHF是二面角E-AD-B的平面角．
又∵FE⊥CE，∴AD⊥DC，∴△ABG∽△CDG，
∴

AG

GC

=

AB

CD

=

BG

DG

，解得AG=2，BG=

3

．
在RT△ABG中，BG•AB=AG•BH⇒BH=

3

2

．
∴RT△FBH中，FH=

( 3 2 )2+12

=

7

2

，cos∠BHF=

BH

HF

=

21

7

，
∴二面角E-AD-B的余弦值為

21

7

．
向量法：
（1）證明：由五邊形ABCEF關(guān)于線段BC對(duì)稱知BF⊥BC，AB⊥BC，
而平面ABCD⊥平面ECBF，∴FB⊥平面ECBF，∴FB⊥AB．
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖．
則 A(0，0，1)，F(xiàn)(1，0，0)，D(0，

3

2

，

3

2

)，E(

3

2

，

3

2

，0)，
所以

AF

=(1，0，-1)，

DE

=(

3

2

，0，-

3

2

)，
∴

AF

=

3

2

DE

，∴AF∥DE，又AF?面ABF，DE?面ABF，
∴DE∥平面AFB．
（2）解：由（1）得A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，

AF

=(1，0，-1)，

AD

=(0，

3

2

，

1

2

)，
設(shè)平面ADEF的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AF =x-z=0 n • AD = 3 y+z=0

，不妨令y=-1，則

n

=(

3

，-1，

3

)，
又面ABCD的一個(gè)法向量是

m

=(1，0，0)， ∴cos＜

n

，

m

＞=

21

7

．
∴二面角E-AD-B的余弦值為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．