Question

【題目】已知函數.

（1）證明：當時，函數有唯一的極值點；

（2）設為正整數，若不等式在內恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）對函數進行求導，構造函數，對函數進行求導并判斷其單調性，結合零點存在性定理，分別求出使和的的取值范圍，從而使命題得證；

（2）當時，不等式恒成立等價于對恒成立，令，得，又因為為正整數，所以或2，當時，不等式對恒成立，即對恒成立，設，對函數進行求導，判斷其單調性并求在上的最小值，只需求得即可求得的最大值2.

證明：（1）因為函數的定義域為，

設，則.

①當時，因為，所以在內單調遞增，又因為，

，

所以存在，使，對于，都有，對于，都有.

②當時，.

綜上可得，，當時，，當.

因此，當時，函數有唯一的極值點.

（2）當時，不等式恒成立等價于

對恒成立，

令，得，又因為為正整數，所以或2，

當時，不等式對恒成立，

即對恒成立，

設，則.

設，則，因為當時，，

所以函數在上單調遞增，又因為，

所以當時，，即.

令，得，因為，所以當時，，

當時，，所以，

又因為，所以，因此，當時，恒成立.

也就是說當時，不等式在內恒成立.

故的最大值為2.