Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB、BC的中點，
（Ⅰ）求證：EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）求證：B₁D⊥平面A₁C₁B．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接AC，則AC∥EF，
∵AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁，
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，∴A₁C₁∥AC
∴EF∥A₁C₁，∴EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）連接B₁D₁，則B₁D₁⊥A₁C₁．
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴DD₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面DD₁B₁，∴A₁C₁⊥B₁D
同理可證，A₁B⊥B₁D，∴B₁D⊥平面A₁C₁B．
分析：（Ⅰ）先連接AC，根據(jù)中位線定理得到AC∥EF，再由A₁C₁∥AC可得到EF∥A₁C₁，最后根據(jù)線面平行的判定定理可證．
（Ⅱ）連接B₁D₁，可得到B₁D₁⊥A₁C₁，再由DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，從而可得到DD₁⊥A₁C₁，即可證明A₁C₁⊥平面DD₁B₁，即可證出A₁C₁⊥B₁D，同理可得到A₁B⊥B₁D，最后根據(jù)線面垂直的判定定理可得證．
點評：本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直定理．考查考生的空間想象能力和對定理的應(yīng)用能力．