Question

【題目】已知函數(shù)（k為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)（1, f (1)）處的切線與x軸平行.

（1）求k的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意

Answer 1

【答案】(1);(2) 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù);(3)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即可得解；

（2）求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)大于0可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間；

（3）由，當(dāng)，分析單調(diào)性易證得成立；當(dāng)，分析不等式，只需證即可，設(shè)，求導(dǎo)求最值即可證得，，從而得證.

詳解：（1）由f(x) = 可得，而，

即，解得；

（2），令可得，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，。

于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù).

（3），

當(dāng)時(shí)， ，.

當(dāng)時(shí)，要證.

只需證即可

設(shè)函數(shù).

則，

則當(dāng)時(shí)，

令解得，

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，且，

則，于是可知當(dāng)時(shí)成立

綜合（1）（2）可知對(duì)任意x＞0，恒成立.

【另證1】設(shè)函數(shù)，則，

則當(dāng)時(shí)，

于是當(dāng)時(shí)，要證，

只需證即可，

設(shè)，，

令解得，

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，

于是可知當(dāng)時(shí)成立

綜合（1）（2）可知對(duì)任意x＞0，恒成立.

【另證2】根據(jù)重要不等式當(dāng)時(shí)，即，（要證明）

于是不等式，

設(shè)，，

令解得，

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，

于是可知當(dāng)時(shí)成立.