Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx+（m﹣1）x．
（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范圍．
（2）當m=1時，試問方程xf（x）﹣ =﹣ 是否有實數(shù)根，若有，求出所有實數(shù)根；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）= ．

當m≤0時，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

當m≥1時，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．

當0＜m＜1時，由f'（x）＞0，得x＜ ，由f'（x）＜0，得x＞ ，

此時f（x）在區(qū)間（0， ）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（ ，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．

所以當0＜m＜1時函數(shù)f（x）有最大值，最大值M=f（ ）=mln ﹣m．

因為M＞0，所以有mln ﹣m＞0，解之得m＞ ．

所以m的取值范圍是（ ，1）

（2）解：m=1時，方程可化為xlnx= ﹣ ．

設(shè)h（x）=xlnx，則h′（x）=1+lnx，

∴x∈（0， ），h′（x）＜0，x∈（ ，+∞），h′（x）＞0，

∴h（x）min=h（ ）=﹣ ，

設(shè)g（x）= ﹣ ．g′（x）= ，

0＜x＜1時，g′（x）＞0，x＞1時，g′（x）＜0，

∴g（x）max=g（1）=﹣ ，

∵ ≠1，∴h（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，

∴方程xf（x）﹣ =﹣ 沒有實數(shù)根

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值，M＞0，所以有mln ﹣m＞0，解之得m＞ ．即可求m的取值范圍．（2）m=1時，方程可化為xlnx= ﹣ ．構(gòu)造函數(shù)h（x）=xlnx，g（x）= ﹣ ，證明h（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即可得出結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．