已知函數,在上的減函數.
(Ⅰ)求曲線在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若在上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)關于的方程()有兩個根(無理數e=2.71828),求m的取值范圍.
(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
解析試題分析:(Ⅰ)求出即得在點(1,f(1))處的切線方程.
(Ⅱ)在上恒成立,則.
利用導數求出的最大值,再解不等式即可得的取值范圍.
(Ⅲ)方程可化為,即.
令,則問題轉化為研究函數的圖象與x軸交點個數,而這又可用導數解決.
試題解析:(Ⅰ)∵,∴, 1分
∴, 2分
∴在點(1, f(1))處的切線方程為,即; 3分
(Ⅱ)∵,∴,
在上單調遞減,∴在上恒成立, 4分
∴在上恒成立,
5分
在上單調遞減,∴
∵在上恒成立,
∴只需恒成立, 6分
∴,
∵,∴,
∴; 7分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知方程為,
設,則方程根的個數即為函數的圖象與x軸交點個數 8分
∵, 9分
當時,在上為增函數,
當時,
在和上為減函數,
在上為增函數,在上為減函數,
在的最大值為, 11分
又,,
方程有兩根滿足:, 12分
即時,原方程有兩解 &
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數
(1)當時,求函數的單調區(qū)間;
(2)當函數自變量的取值區(qū)間與對應函數值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數的保值區(qū)間。設,試問函數在上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數.
(1)當時,求函數在上的最大值;
(2)令,若在區(qū)間上不單調,求的取值范圍;
(3)當時,函數的圖象與軸交于兩點,且,又是的導函數.若正常數滿足條件,證明:.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數.
(Ⅰ)如果函數在區(qū)間上是單調函數,求的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在正實數,使得函數在區(qū)間內有兩個不同的零點(是自然對數的底數)?若存在,求出實數的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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