Question

已知數列{a_n}中，a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，設bn=

3an-2

an-1

．
（Ⅰ）試寫出數列{b_n}的前三項；
（Ⅱ）求證：數列{b_n}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）設{a_n}的前n項和為S_n，求證：

(n+1)•2n+1-n-2

2n+1-1

＜Sn≤

(n+2)•2n-1-1

2n-1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）由已知中a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，利用代入法，易求出數列{a_n}的前三項，再由bn=

3an-2

an-1

，可以求出數列{b_n}的前三項；
（Ⅱ）由已知中a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，bn=

3an-2

an-1

．我們易得到b_n是以

3a1-2

a1-1

=4為首項，以2為公比的等比數列，再結合bn=

3an-2

an-1

．我們易得到數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）根據（II）的結論，我們可得到{a_n}的前n項和為S_n的表達式，利用放縮法，即可證明

(n+1)•2n+1-n-2

2n+1-1

＜Sn≤

(n+2)•2n-1-1

2n-1

(n∈N*)．

解答：解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，得a2=

6

5

，a3=

14

13

．
由bn=

3an-2

an-1

，可得b₁=4，b₂=8，b₃=16．
（Ⅱ）證明：因an+1=

4an-2

3an-1

，
故bn+1=

3an+1-2

an+1-1

=

12an-6-6an+2

4an-2-3an+1

=2•

3an-2

an-1

=2bn．
顯然an≠

2

3

，因此數列b_n是以

3a1-2

a1-1

=4為首項，以2為公比的等比數列，
即b_n=

3an-2

an-1

=4•2n-1=2n+1．
解得an=

2n+1-2

2n+1-3

．
（Ⅲ）因為an=1+

1

2n+1-3

=1+

2n

2n•2n+1-3•2n

＞1+

(2n+1-1)-(2n-1)

2n•2n+1-2n-2n+1+1

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
所以Sn＞

n

k=1

(1+

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)=n+1-

1

2n+1-1

=

(n+1)•2n+1-n-2

2n+1-1

；

又an=1+

1

2n+1-3

≤1+

4

2n+1

=1+

1

2n-1

（當且僅當n=1時取等號），故Sn≤

n

k=1

(1+

1

2k-1

)=n+

1-2-n

1-2-1

=

(n+2)•2n-1-1

2n-1

．
綜上可得

(n+1)•2n+1-n-2

2n+1-1

＜Sn≤

(n+2)•2n-1-1

2n-1

(n∈N*)．

點評：本題考查的知識點是數列的遞推公式，數列與不等式的綜合應用，是數列問題中難度較大的問題，其中不等式解法中的放縮法，數列的遞推公式，在屬于新課標高考考試要求范圍．