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19.將四個(gè)不同顏色的乒乓球隨機(jī)放入編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子中(每個(gè)盒子足夠大).
(1)求編號(hào)為1的盒子為空盒的概率;
(2)求空盒的個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).

分析 (1)將四個(gè)不同顏色的乒乓球隨機(jī)放入編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子中,由分步剩法計(jì)數(shù)原理知共有44種放法,設(shè)事件A表示“編號(hào)為1的盒子為空盒”,則四個(gè)乒乓球可以隨機(jī)放入編號(hào)為2,3,4的三個(gè)盒子中,共有34種放法,由此能求出編號(hào)為1的盒子為空盒的概率.
(2)空盒的個(gè)數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出空盒的個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).

解答 解:(1)將四個(gè)不同顏色的乒乓球隨機(jī)放入編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子中,
由分步剩法計(jì)數(shù)原理知共有44=256種放法,
設(shè)事件A表示“編號(hào)為1的盒子為空盒”,
則四個(gè)乒乓球可以隨機(jī)放入編號(hào)為2,3,4的三個(gè)盒子中,共有34=81種放法,
故編號(hào)為1的盒子為空盒的概率為PA=81256
(2)空盒的個(gè)數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3,
P({ξ=0})=\frac{A_4^4}{256}=\frac{24}{256}=\frac{3}{32},
P({ξ=1})=\frac{C_4^2C_4^3A_3^3}{256}=\frac{144}{256}=\frac{9}{16},
P({ξ=3})=\frac{C_4^1}{256}=\frac{4}{256}=\frac{1}{64}
P({ξ=2})=\frac{{C_4^1C_4^2A_2^2+\frac{C_4^2C_2^2}{A_2^2}C_4^2A_2^2}}{256}=\frac{84}{256}=\frac{21}{64}
(或P({ξ=2})=1-P({ξ=0})-P({ξ=1})-P({ξ=3})=\frac{21}{64}),
所以ξ的分布列為

ξ0123
P\frac{3}{32}\frac{9}{16}\frac{21}{64}\frac{1}{64}
ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×\frac{3}{32}+1×\frac{9}{16}+2×\frac{21}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{81}{64}

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.

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