Question

【題目】已知函數(shù) ， 問
（1）求 f x 的單調(diào)區(qū)間（2）設(shè)曲線 y = f x 與 x 軸正半軸的交點為,曲線在點 P 處的切線方程為 y = ,求證:對于任意的正實數(shù) x ,都有 ∈
（1）求的單調(diào)區(qū)間
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為 ,求證:對于任意的正實數(shù) ,都有 ;
（3）若方程（為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根 且 ,求證: .

Answer 1

【答案】
（1）

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）

見解答

（3）

【解析】1.由 ， 可得 ， 當(dāng) ， 即時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng) ， 即時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ， 單調(diào)遞減區(qū)間是
2.設(shè) ， 則 ， 曲線在點處的切線方程為 ， 即 ， 令即則 ， 由于在單調(diào)遞減,故在單調(diào)遞減,又因為 ,所以當(dāng)時, ,所以當(dāng)時, 所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對任意的實數(shù), ,對于任意的正實數(shù) ,都有
3.由小題2知 ， 設(shè)方程的根為 ， 可得 ， 因為在單調(diào)遞減，又由小題2知 ， 所以 ， 類似的，設(shè)曲線在原點處的切線為 ， 可得 ， 對任意的 ， 有即 ， 設(shè)方程的根為 ， 可得 ， 因為在單調(diào)遞增，且 ， 因此 ，
所以。
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義(通過圖像,我們可以看出當(dāng)點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點趨近于時，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即)．