Question

16．過(guò)點(diǎn)P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，PF₁的垂直平分線過(guò)F₂，且原點(diǎn)到直線PF₁的距離恰好等于雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出離心率．

解答 解：依題意過(guò)點(diǎn)P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，PF₁的垂直平分線過(guò)F₂，且原點(diǎn)到直線PF₁的距離恰好等于雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，可得|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一個(gè)等腰三角形，F(xiàn)₂在直線PF₁的投影是其中點(diǎn)，
由勾股定理可知|PF₁|=4b
根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角與雙曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬中檔題．