Question

6．點(diǎn)P為棱長是2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球O球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為B₁C₁的中點(diǎn)，若滿足DP⊥BM，則動點(diǎn)P的軌跡的長度為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}π}}{5}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}π}}{5}$
• C． $\frac{{4\sqrt{5}π}}{5}$
• D． $\frac{{8\sqrt{5}π}}{5}$

Answer 1

分析 直線DP在過點(diǎn)D且與BM垂直的平面內(nèi)．又點(diǎn)P在內(nèi)接球的球面上，故點(diǎn)P的軌跡是正方體的內(nèi)切球與過D且與BM垂直的平面相交得到的小圓，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)BB₁的中點(diǎn)N，CN為DP在平面B₁C₁CB中的射影，直線DP在過點(diǎn)D且與BM垂直的平面內(nèi)．又點(diǎn)P在內(nèi)接球的球面上，故點(diǎn)P的軌跡是正方體的內(nèi)切球與過D且與BM垂直的平面相交得到的小圓，即點(diǎn)P的軌跡為過D，C，N的平面與內(nèi)切球的交線．由等面積$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×h=\frac{1}{2}×1×1$，求得點(diǎn)O到此平面的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，截得小圓的半徑為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，所以以點(diǎn)P的軌跡的長度為$\frac{{4\sqrt{5}π}}{5}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生的空間想象力，求出點(diǎn)P的軌跡是關(guān)鍵，屬于中檔題．