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(2011•揭陽一模)已知數列{an}是公比q>1的等比數列,且a1+a2=40,a1a2=256,又 bn=log2an
(1)求數列{bn}的通項公式;
(2)若Tn+1-Tn=bn(n∈N*),且T1=0.求證:對?n∈N*,n≥2有
1
3
n
i=2
1
Ti
3
4
分析:(1)解法1:根據a1+a2=40,a1a2=256,且q>1,確定數列的a1、a2的值,從而可求公比,進而可求數列{an}的通項,利用bn=log2an,可求數列{bn}的通項公式;
解法2:根據a1+a2=40,a1a2=256,且q>1,確定數列的a1、a2的值,從而可求公比,進而根據bn=log2an,可得{bn}是以3為首項,2為公差的等差數列,即可求數列{bn}的通項公式;
(2)當n≥2時,Tn-Tn-1=bn-1=2n-1,根據Tn=(Tn-Tn-1)+(Tn-1-Tn-2)+…(T3-T2)+(T2-T1)+T1,可求Tn的值,進而可得
1
Tn
=
1
(n-1)(n+1)
=
1
2
(
1
n-1
-
1
n+1
)
,由此可證結論.
解答:解:(1)解法1:∵a1+a2=40,a1a2=256,且q>1,解得
a1=8
a2=32
---------------(2分)
q=
a2
a1
=4
,∴an=a1qn-1=8×4n-1=22n+1---------------------------------(4分)
∴bn=log2an=log222n+1=2n+1--------------------------------------------(6分)
解法2:由a1+a2=40,a1a2=256,且q>1得
a1=8
a2=32
,∴q=
a2
a1
=4
------------------------------------(2分)
bn+1-bn=log2an+1-log2an=log
an+1
an
=log24=2
,----------------------------(3分)
又b1=log2a1=log28=3,-------------------------------------------------------(4分)
∴{bn}是以3為首項,2為公差的等差數列,----------------------------------------(5分)
∴bn=3+(n-1)×2=2n+1;----------------------------------------------------(6分)】
(2)當n≥2時,Tn-Tn-1=bn-1=2n-1,
∴Tn=(Tn-Tn-1)+(Tn-1-Tn-2)+…(T3-T2)+(T2-T1)+T1
=(2n-1)+(2n-3)+…+5+3=
(n-1)(2n-1+3)
2
=(n-1)(n+1);---------------(8分)
∵當n≥2時,
1
Tn
=
1
(n-1)(n+1)
=
1
2
(
1
n-1
-
1
n+1
)
,----------------------------(10分)
n
i=2
1
Ti
=
1
T2
+
1
T3
+
1
T4
+…+
1
Tn
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…(
1
n-3
-
1
n-1
)+(
1
n-2
-
1
n
)+(
1
n-1
-
1
n+1
)]

=
1
2
(1+
1
2
-
1
n
-
1
n+1
)=
3
4
-
1
2
(
1
n
+
1
n+1
)
.------(12分)
∵n≥2,∴
1
n
+
1
n+1
1
2
+
1
3
=
5
6

3
4
-
1
2
(
1
n
+
1
n+1
)≥
3
4
-
1
2
5
6
=
1
3

1
n
+
1
n+1
>0

3
4
-
1
2
(
1
n
+
1
n+1
)<
3
4

即對?n∈N*,n≥2,
1
3
n
i=2
1
Ti
3
4
.----------------------------------------------(14分)
點評:本題考查數列的通項與求和,考查不等式的證明,解題的關鍵是確定數列的項與公比,利用疊加法與裂項法求和,利用放縮法證明不等式.
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1
4
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π
2
)
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3
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2
3
2
3

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