Question

設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y²=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

Answer 1

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

解法一:設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(x,y) (x≠0)

直線AB的方程為x=my+a
由OM⊥AB，得m=－
由y²=4px及x=my+a，消去x,得y²－4pmy－4pa=0
所以y₁y₂=－4pa, x₁x₂=
所以，由OA⊥OB，得x₁x₂ =－y₁y₂
所以
故x=my+4p,用m=－代入，得x²+y²－4px=0(x≠0)
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).
解法二：設(shè)OA的方程為，代入y²=4px得
則OB的方程為，代入y²=4px得
∴AB的方程為，過定點(diǎn)，
由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外）
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).
解法三: 設(shè)M(x,y) (x≠0)，OA的方程為，
代入y²=4px得
則OB的方程為，代入y²=4px得
由OM⊥AB，得
M既在以O(shè)A為直徑的圓：……①上，
又在以O(shè)B為直徑的圓： ……②上（O點(diǎn)除外），
①+②得x²+y²－4px=0(x≠0)
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).