Question

已知向量

m

=（sin（x+

π

4

），

3

cos（x+

π

4

）），

n

=（sin（x+

π

4

），cos（x-

π

4

）），函數f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的圖象的對稱中心坐標；
（Ⅱ）將函數y=f（x）圖象向下平移

1

2

個單位，再向左平移

π

3

個單位得函數y=g（x）的圖象，試寫出y=g（x）的解析式并作出它在[-

π

6

，

5π

6

]上的圖象．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數量積的運算

專題：

分析：（Ⅰ）利用平面向量的數量積的坐標運算可求得y=f（x）的解析式，利用正弦函數的性質可求得其對稱中心坐標；
（Ⅱ）依題意，可求得g（x）=sin（2x+

π

3

），通過列表，描點可作出它在[-

π

6

，

5π

6

]上的圖象

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=sin2(x+

π

4

)-

3

cos（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）
=

1

2

（1+sin2x）-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）+

1

2

，…（4分）
由sin（2x-

π

3

）=0得：2x-

π

3

=kπ，k∈Z，
∴x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的圖象的對稱中心坐標為（

1

2

kπ+

π

6

，

1

2

），k∈Z．     …（6分）
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-

1

2

，則h（x）=sin（2x-

π

3

），
∴g（x）=h（x+

π

3

）=sin[2（x+

π

3

）-

π

3

]=sin（2x+

π

3

），
列表：
，
描點、連線得函數y=g（x）在[-

π

6

，

5π

6

]上的圖象如圖所示：

…（12分）

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查平面向量的數量積的坐標運算，考查列表作圖能力，屬于中檔題．