Question

從旅游景點A到B有一條100公里的水路，某輪船公司開設一個觀光項目，已知游輪每小時使用的燃料費用與速度的立方成正比例，其他費用為每小時3240元，游輪最大時速為50km/h，當游輪速度為10km/h，燃料費用為每小時60元，若單程票價定為150元/人．
（1）一艘游輪單程以40km/h航行，所載游客為180人，輪船公司獲得的利潤是多少？
（2）如果輪船公司要獲取最大利潤，游輪的速度為多少？

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利潤=收入-成本；
（2）利用函數的單調性，即可求出函數的最小值．

解答： 解：設游輪以每小時vkm/h的速度航行，游輪單程航行的總費用為f（v）元，
∵游輪的燃料費用每小時k•v³元，依題意k•10³=60，則k=0.06，
∴f(v)=0.06v3•

100

v

+3240•

100

v

=6v2+

324000

v

，
（1）當v=40km/h時，f(v)=6×402+

324000

40

=17700（元），
輪船公司獲得的利潤是150×180-17700=9300元．
（2）f′(v)=12v-

324000

v2

=

12(v3-27000)

v2

，
令f′（v）=0得，v=30，
當0＜v＜30時，f′（v）＜0，此時f（v）單調遞減；
當30＜v＜50時，f′（v）＞0，此時f（v）單調遞增；
故當v=30時，f（v）有極小值，也是最小值，f（30）=16200，
所以，輪船公司要獲得最大利潤，游輪的航速應為30km/h．

點評：本題是一道實際應用題，考查了正比例函數，建模思想，求函數的導數，利用導數求函數的最值，解決實際問題的能力．