Question

13．某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關系式y(tǒng)=$\frac{a}{x-4}$+10（x-7）²．其中3＜x＜7，a為常數．已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出該商品11千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若該商品的成本為4元/千克，試確定銷售價格x（單位：元/千克）的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用代入法，將x=6，y=11，代入函數式，計算即可得到a的值；
（Ⅱ）由（1）可知，該商品每日的銷售量y=$\frac{2}{x-4}$+10（x-7）²，求出商場每日銷售該商品所獲得的利潤，再求導數，可得在（3，7）的單調區(qū)間，及極值，且為最值．

解答 解：（Ⅰ）因為x=6時，y=11，所以$\frac{a}{2}$+10=11，a=2．…（2分）
（Ⅱ）由（1）可知，該商品每日的銷售量y=$\frac{2}{x-4}$+10（x-7）²，
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為
f（x）=（x-4）[$\frac{2}{x-4}$+10（x-7）²]=2+10（x-4）（x-7）²，（3＜x＜7）…（6分）
從而，f′（x）=10[（x-7）²+2（x-4）（x-7）]=30（x-5）（x-7），
令f′（x）=0，得x=5或x=7（舍去）．
因為當x∈（3，5）時，f′（x）＞0，當x∈（5，7）時，f′（x）＜0，
所以f （x）在（3，7）取得唯一的極大值，也就是最大值．
所以，當x=5時，函數f（x）取得最大值，且最大值等于42．
答：當銷售價格為5元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．…（13分）

點評 本題考查函數模型在實際問題中的應用，考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．