Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，點(diǎn)P在棱DF上．

（1）若P是DF的中點(diǎn)， 求異面直線BE與CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D-AP-C的余弦值為，求PF的長(zhǎng)度．

 

Answer 1

解析：（1）因?yàn)椤螧AF=90º，所以AF⊥AB，    

因?yàn)?平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， 

所以AF⊥平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AF分別

為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

所以 ，，，．

所以 ，，

所以，

即異面直線BE與CP所成角的余弦值為． ----6分                                             

（2）因?yàn)锳B⊥平面ADF，所以平面APF的法向量為．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，在平面APC中，，，

所以 平面APC的法向量為，  

所以，

解得，或（舍）．   所以．       -------------------------12分