Question

【題目】已知函數(shù)，其中，，.

（Ⅰ）若是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為：，；（Ⅲ）1.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，得出，即可求出實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，分類(lèi)討論去絕對(duì)值得出分段函數(shù)，畫(huà)出的圖象，根據(jù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）根據(jù)題意，由任意，都有恒成立，得出，得出，再分類(lèi)討論和，得出的最大值，從而得出的最小值.

解：（Ⅰ）是偶函數(shù)，故，

即，

則，解得：.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

則，

當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為，

結(jié)合圖象，易知的單調(diào)遞增區(qū)間為，，

的單調(diào)減區(qū)間為：，.

（Ⅲ）∵對(duì)任意，都有恒成立，

即對(duì)任意，都有恒成立，

∴，

且對(duì)任意實(shí)數(shù)，，恒成立，

①當(dāng)，時(shí)，

恒成立，

②當(dāng)，時(shí)，

恒成立，

③當(dāng)，時(shí)，

由恒成立，則，

④當(dāng)時(shí)，對(duì)一切時(shí)恒成立，

當(dāng)時(shí)，，

∵，∴，

∴，

綜上所述，的最小值為1.