Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且過點（1，

3

2

）；圓C₂：x²+y²=

12

7

．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C₂相切，且交橢圓C₁于A，B兩點，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知得

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在或直線l的斜率為0時，|AB|=

4 21

7

．當直線l的斜率存在，且不為0時，設直線l的方程為y=kx+m．由直線l與圓C₂相切，得

m2

k2+1

=

12

7

，聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式能求出|AB|的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且過點（1，

3

2

），
∴

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵圓C₂：x²+y²=

12

7

的圓心是（0，0），半徑r=

2 21

7

，
橢圓C₁：

x2

4

+

y2

3

=1的焦點坐標為（±1，0），中心是（0，0），
x∈[-2，2]，y∈[-

3

，

3

]，
直線l與圓C₂相切，且交橢圓C₁于A，B兩點，
∴當直線l的斜率不存在時，直線l過圓C₂：x²+y²=

12

7

與x軸交點（±

2 21

7

，0），
此時y²=

12

7

，即y=±

2 21

7

，|AB|=

4 21

7

；
當直線l的斜率為0時，直線l過圓C₂：x²+y²=

12

7

與y軸交點（0，±

2 21

7

），
此時x²=

12

7

，即x=±

2 21

7

，|AB|=

4 21

7

．
當直線l的斜率存在，且不為0時，設直線l的方程為y=kx+m．
∵直線l與圓C₂相切，∴

|m|

k2+1

=

12 7

，即

m2

k2+1

=

12

7

，
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即4k²+3-m²＞0，即

4

3

m2＞1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴|AB|=

(1+k2)[(- 8km 3+4k2 )2-4× 4m2-12 3+4k2 ]

=

21 6 |m|

7 3 m2-1

4 3 m2-1

=

21

6

|m|3+

21

6

4 3 m2-1

＞

3 7

16

．
∴|AB|的取值范圍是（

3 7

16

，

4 21

7

]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．