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已知圓C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)求證：不論m取什么實數，直線l與圓C總相交；

(2)求直線l被圓C截得的弦長最短長度及此時的直線方程．

答案：
解析：

　　(1)證明：把直線l的方程改寫成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0．

　　由方程組

　　∴直線l總過定點(3，1)．

　　圓C的方程可寫成(x－1)2＋(y－2)2＝25．

　　∴圓C的圓心為(1，2)，半徑為5，定點(3，1)到圓心(1，2)的距離為＜5．

　　∴點(3，1)在圓C內．

　　∴過點(3，1)的直線l總與圓C相交，即不論m為何實數，直線l與圓C總相交．

　　(2)解：當直線l過定點M(3，1)且垂直于過點M與圓心的半徑時，l被圓截得的弦長|AB|最短．如圖

　　|AB|＝．

　　此時，kAB＝＝2．

　　∴直線AB的方程為y－1＝2(x－3)，

　　即2x－y－5＝0．

　　故直線l被圓C截得的弦長的最短長度為，

　　此時直線l的方程為2x－y－5＝0．


提示：

　　(1)直線l是過一個定點的直線，若此定點在圓內，則此直線l必與圓C總相交．

　　(2)當過定點的直線與圓心的距離最短時，即此直線垂直于定點與圓心的連線時，被圓截得的弦最短．


練習冊系列答案
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已知圓C：x2-8x+y2-9=0，過點M（1，3）作直線交圓C于A，B兩點，△ABC面積的最大值為
 
．

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2
；
（1）求a的值；
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（1）若直線l′⊥l且被圓C截得的弦長為
3
，求直線l′的方程；
（2）若點P是直線l上的動點，PA、PB與圓C相切于點A、B，求四邊形PACB面積的最小值．

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已知圓C：x2-2ax+y2-4y+a2=0（a＞0）及直線l：x-y+3=0，當直線l被圓C截得的弦長為2
2
時．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．

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