Question

設函數(shù)f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，1]都有f（x）≤成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），∴c=0． （2分）
又f（x）在x=1處的切線方程為y=3x+2，
由f'（x）=3ax²+b，∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴得 ． （5分）
（2）f（x）=-x³+6x，
依題意 對任意x∈（0，1]恒成立，
∴-x⁴+6x²≤k對任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）
即 k≥-（x²-3）²+9對任意x∈（0，1]恒成立，∴k≥5． （9分）
（3）|f（x）-mx|≤16，即-16≤f（x）-mx≤16，
∴，
即 對任意x∈（0，3]恒成立，（11分）
記 ，其中x∈（0，3]，則 ．
∴當x∈（0，2）時，g'（x）＞0，g（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，
當x∈（2，3）時，g'（x）＜0，g（x）在（2，3）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在（0，3]上的最大值是g（2）=-6，則m≥-6． （13分）
記 ，
其中x∈（0，3]，則 ，
所以 h（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
∴即h（x）在（0，3]上的最小值是 ，則 ；（16分）
綜上，可得所求實數(shù)m的取值范圍是．（18分）
分析：（1）求a，b，c的值，可由函數(shù)f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=3x+2轉化為方程解出a，b，c的值；
（2）若對任意x∈（0，1]都有 f（x）≤成立，求實數(shù)k的取值范圍，可轉化為對任意x∈（0，1]都有xf（x）≤k，下轉化為求函數(shù)xf（x）在（0，1]的最大值，判斷出參數(shù)的取值范圍問題；
（3）若對任意x∈（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求實數(shù)m的取值范圍，可先將問題轉化為對任意x∈（0，3]恒成立，求出參數(shù)m的取值范圍來．
點評：本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第三小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．