Question

【題目】如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面．

（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：//平面；

（2）棱BC上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）存在，且長(zhǎng)度為

【解析】

(1) 連接,可得四邊形是平行四邊形，可得，可證得//平面；

（2）取中點(diǎn)，連接，可得是正三角形，分別以,,為軸,軸,軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，由二面角的余弦值為可得的值，可得的長(zhǎng).

解：（1）證明：連接,由已知得，，且

所以四邊形是平行四邊形，即，

又平面，平面，

所以//平面

（2）取中點(diǎn)，連接因?yàn)?/span>是菱形，且，所以是正三角形，

所以即，

由于是正三角形

所以，分別以,,為軸,軸,軸，建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，

，，

假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

設(shè)平面的法向量

則即，可取

平面的法向量為

所以，，解得：

又由于二面角大小為銳角，由圖可知，點(diǎn)E在線段QC上，

所以，即