Question

牛頓冷卻模型是指：在常溫環(huán)境下，如果最初的溫度時(shí)θ₁，環(huán)境溫度是θ₀，則經(jīng)過(guò)時(shí)間t（單位：min）后物體的溫度θ（單位：℃）將滿足；θ=f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt，其中k為正常數(shù)，假設(shè)在室內(nèi)溫度為20℃的情況下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min．
（1）求f（t）
（2）f′（0）=-2.768的實(shí)際意義是什么？
（3）畫(huà)出函數(shù)θ=f（t）在t=20附近的大致圖．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型,函數(shù)圖象的作法

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，利用公式θ=f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt，求出k的值；
（2）由f（t）求導(dǎo)數(shù)f′（t），用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋f′（0）；
（3）求出t=20時(shí)，θ的值，根據(jù)函數(shù)θ=f（t）的單調(diào)性畫(huà)出大致圖形即可．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，得；
∵θ=f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt，其中k為正常數(shù)，
當(dāng)θ₀=20，θ₁=100，θ=60，t=20時(shí)，
20+（100-20）•e^-20k=60，
即e^-20k=

1

2

，
解得k=

ln2

20

，
∴f（t）=20+80e-

ln2

20

t；
（2）∵f（t）=20+80e-

ln2

20

t，
∴f′（t）=80•（-

ln2

20

）•e-

ln2

20

t
=-4ln2•e-

ln2

20

t，
∴f′（0）=-4ln2≈-2.768，
它表示溫度降低到0C°的變化率；
（3）∵θ=f（t）=20+80e-

ln2

20

t，
∴當(dāng)t=20時(shí)，θ=f（20）=20+80e^-ln2=20+80×2^-1=60，
∴畫(huà)出函數(shù)θ=f（t）在t=20附近的大致圖形，如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．