Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為（），為上一點，以為邊作等邊三角形，且、、三點按逆時針方向排列.

（Ⅰ）當(dāng)點在上運動時，求點運動軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若曲線： ，經(jīng)過伸縮變換得到曲線，試判斷點的軌跡與曲線是否有交點，如果有，請求出交點的直角坐標(biāo)，沒有則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】試題分析：考慮到 則點的極坐標(biāo)可以表示為將點代入直線的極坐標(biāo)方程中得到關(guān)于的方程即為點的極坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為點的直角坐標(biāo)方程.（2）將曲線的普通方程與直線普通方程聯(lián)立 故必有兩個交點.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點的坐標(biāo)為，

則由題意可得點的坐標(biāo)為，

再由點的橫坐標(biāo)等于， ，

可得，

可得，

故當(dāng)點在上運動時點的直角坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ)曲線： ，

，即，代入，即，

聯(lián)立點的軌跡方程，消去得，

有交點，坐標(biāo)分別為．