Question

如圖，正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=5．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求三棱錐E-ABD的體積．

Answer 1

（1）證明：因為AE⊥平面CDE，且CD?平面CDE，所以AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面ADE，
所以CD⊥平面ADE，
又CD?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE；
（2）解：由（1）知，BA⊥面AED，
∴V_E-ABD=V_B-AED=
因為AE⊥平面CDE，且DE?平面CDE，所以AE⊥DE，
∵ABCD為正方形，∴AD=AB=5
∵AE=3，∴ED=4
∴S_△AED==6
∴V==10．
分析：（1）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，結(jié)合正方形ABCD鄰邊垂直及線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，進而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE；
（2）由（1）知，BA⊥面AED，則V_E-ABD=V_B-AED=，由此可得三棱錐E-ABD的體積．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計算，屬于中檔題．