Question

（2012•葫蘆島模擬）如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)為A₁，A₂，左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，其中F₁，F(xiàn)₂是A₁A₂的三等分點(diǎn)，A是橢圓上任意一點(diǎn)，且|AF₁|+|AF₂|=6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AF₁與橢圓交于另一點(diǎn)B，與y軸交于一點(diǎn)C，記m=

S△AF1O

S△ACO

，n=

S△BF1O

S△BCO

，若點(diǎn)A在第一象限，求m+n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)F₁，F(xiàn)₂是A₁A₂的三等分點(diǎn)，可得a=3c，利用|AF₁|+|AF₂|=6，可得a=3，從而可得橢圓C的方程；
（2）當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)直線不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線AF₁的方程代入到橢圓方程并消元整理利用韋達(dá)定理及C點(diǎn)坐標(biāo)，確定m=

S△AF1O

S△ACO

=

my1

my1-1

，n=

S△BF1O

S△BCO

=

my2

my2-1

，由此可確定m+n的取值范圍．

解答：解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂是A₁A₂的三等分點(diǎn)，∴a=3c
又∵|AF₁|+|AF₂|=6，∴a=3
∴c=1，∴b²=8
∴橢圓C的方程為：

x2

9

+

y2

8

=1…（4分）
（2）F₁（-1，0），當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，顯然不合題意，
當(dāng)直線不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線AF₁的方程為：x=my-1  
代入到橢圓方程并消元整理得：（8m²+9）y²-16my-64=0 …①
△=16²×9（m²+1）＞0恒成立；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂是方程①的兩個(gè)解，由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=

16m

8m2+9

，y₁y₂=-

64

8m2+9

在x=my-1中，令x=0得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

m

）…（7分）
m=

S△AF1O

S△ACO

=

|AF1|

|AC|

=

1+m2 |y1|

1+ 1 m2 |my1-1|

=

my1

my1-1

（∵A在第一象限，∴x₁=my₁-1＞0，y₁＞0）
同理：n=

S△BF1O

S△BCO

=

my2

my2-1

…（9分）
∴m+n=

my1

my1-1

+

my2

my2-1

=

my1(my2-1)+my2(my1-1)

(my1-1)(my2-1)

=

m2y1y2-m(y1+y2)

m2y1y2-m(y1+y2)+1

=2+

2

8m2-1

∵A在第一象限，∴C點(diǎn)在橢圓內(nèi)部
∴0＜

1

m

＜2

2

，∴m²＞

1

8

   
∴8m²-1＞0，∴m+n＞2
∴m+n的取值范圍是（2，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，確定m，n的表示是關(guān)鍵．