Question

設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停止工作．若一周5個工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元．
（Ⅰ）設(shè)X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障的天數(shù)，求X的分布列；
（Ⅱ）以Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則一周內(nèi)利潤的期望是多少？

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）以X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障的天數(shù)，則X-B（5，0.2），由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）以Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則y=g（X）=

10，X=0 5，X=1 0，X=2 -2，X≥3

，一周內(nèi)利潤的期望值．

解答： 解：（Ⅰ）以X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障的天數(shù)，則X-B（5，0.2），
P（X=k）=

C

k 5

0．2k0．85-k，k=0，1，2，3，4，5，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
p	0.32768	0.4096	0.2048	0.0512	0.0064	0.00032

（Ⅱ）以Y表示一周內(nèi)所獲利潤，
則y=g（X）=

10，X=0 5，X=1 0，X=2 -2，X≥3

，
P（Y=10）=P（X=0）=0.32768，
P（Y=5）=P（X=1）=0.4096，
P（Y=0）=P（X=2）=0.2048，
P（Y=-2）=P（X≥3）=0.0512+0.0064+0.00032=0.05792，
∴一周內(nèi)利潤的期望為：
EY=10×0.32768+5×0.4096+（-2）×0.05792=5.20896（萬元）．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．