Question

已知向量

a

=（8cosα，2），

b

=（sinα-cosα，3），設(shè)函數(shù)f（α）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（α）的最大值；
（2）在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算列出f（x）解析式，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值；
（2）根據(jù)（1）確定出的函數(shù)解析式以及f（A）=6，求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將已知面積及sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將b+c與bc，cosA的值代入即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（8cosα，2），

b

=（sinα-cosα，3），
∴f（α）=

a

•

b

=8cosα（sinα-cosα）+6=8sinαcosα-8cos²α+6=4sin2α-8×

1+cos2α

2

+6=4sin2α-4cos2α+2=4

2

sin（2α-

π

4

）+2，
∵-1≤sin（2α-

π

4

）≤1，即-4

2

+2≤4

2

sin（2α-

π

4

）+2≤4

2

+2，
則f（α）的最大值為4

2

+2；
（2）根據(jù)題意得：f（A）=4

2

sin（2A-

π

4

）+2=6，即sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
解得：A=

π

4

或

π

2

，
當(dāng)A=

π

4

時(shí)，S_△ABC=

1

2

bcsinA=3，即bc=6

2

，
∵b+c=2+3

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc=（b+c）²-2bc-

2

bc=22+12

2

-12

2

-12=10，
此時(shí)a=

10

；
當(dāng)A=

π

2

時(shí)，S_△ABC=

1

2

bcsinA=3，即bc=6，
∵b+c=2+3

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc=（b+c）²-2bc-

2

bc=22+12

2

-12-6

2

=10-6

2

，
此時(shí)a=

10-6 2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．