Question

【題目】平面上兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿（為常數(shù)）．

（Ⅰ）說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡（不需要求出軌跡方程）；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過的直線與交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（1）對(duì)進(jìn)行分類，再利用線段和橢圓的概念即可得到結(jié)果；

（2）由題意可知，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，當(dāng)與軸重合和當(dāng)與軸垂直時(shí)時(shí)，易得結(jié)論成立；當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到韋達(dá)定理，再直線，的斜率之和為0，即可證明結(jié)果.

（Ⅰ）由題意：當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)不表示任何圖形；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：．

當(dāng)與軸重合時(shí)，

當(dāng)與軸垂直時(shí)，直線恰好平分，

則．

當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為

代入橢圓方程可得

設(shè)，

則，

直線，的斜率之和為

因?yàn)?/span>

所以，故直線，的傾斜角互補(bǔ)

即．