Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosωx，1），$\overrightarrow$=（sinωx，cos²ωx-$\frac{1}{2}$）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，若函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸與它相鄰的一個對稱中心的距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的表達式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，再將各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式，結合二倍角、輔助角公式，根據(jù)函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{4}$，即可求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）根據(jù)圖象的平移和正弦函數(shù)的圖象的性質即可得出結論．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{cos2ωx+1}{2}-\frac{1}{2}$．
由題意知f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$=π，所以ω=1，
所以f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位后，得到y(tǒng)=sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標不變，得到$y=sin（4x-\frac{π}{3}）$的圖象，
所以g（x）=sin（4x-$\frac{π}{3}$），
因為$0≤x≤\frac{π}{4}$，所以$-\frac{π}{3}≤4x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$．由正弦函數(shù)的圖象得可知$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤g（x）≤1$．
所以g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{4}]$上最大值為1和最小值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)恒等變換的應用，周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．