設(shè)函數(shù),其中a為常數(shù).
(1)證明:對任意a∈R,y=f(x)的圖象恒過定點;
(2)當a=-1時,判斷函數(shù)y=f(x)是否存在極值?若存在,證明你的結(jié)論并求出所有極值;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)把f(x)代入到F(x)中化簡得到F(x)的解析式求出F(x)的最小值即可;
(2)把a=-1代入得f(x)的解析式,求出f′(x)=0時x=1,因為x大于0,所以在(0,1)和(1,+∞)上討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極小值為f(1).
解答:解:(1)令lnx=0,得x=1,且f(1)=1,
所以y=f(x)的圖象恒過定點(1,1);
(2)當a=-1時,,
x>0=
經(jīng)觀察得f′(x)=0有根x=1
令g(x)=x2+lnx-1,
當x>0時,g′(x)>0,即y=g(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
所以f′(x)=0有唯一根x=1.
當x∈(0,1)時,,f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
當x∈(1,+∞)時,,f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
所以x=1是f(x)的唯一極小值點.極小值是
點評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力.
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