Question

給定兩個平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上，且

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則滿足x+y≥

2

的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)∠AOC=α，則由

OC

=x

OA

+y

OB

得x，y的值，從而求得x+y，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求滿足條件的角α的范圍，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（-

1

2

，

3

2

），
設(shè)∠AOC=α，則

OC

=（cosα，sinα）
∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

1

2

y，

3

2

y）=（cosα，sinα）．
∴

x- 1 2 y=cosα 3 y 2 =sinα

，即

x= sinα 3 +cosα y= 2sinα 3

，
∴x+y=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．
∴30°≤α+30°≤150°．
當(dāng)x+y≥

2

時，sin（α+30°）≥

2

2

∴45°≤α+30°≤135°，
即15°≤α≤105°，
∴滿足x+y≥

2

的概率P=

105°-15°

120°

=

3

4

，
故答案為：

3

4

點(diǎn)評：本題主要考查幾何概型的計算，根據(jù)三角函數(shù)的對應(yīng)轉(zhuǎn)化為角度之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．