Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且

1

2

，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），求證：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得2a_n=

1

2

+s_n，令n=1可求a₁，n≥2時(shí)，s_n=2a_n-

1

2

，s_n-1=2a_n-1-

1

2

，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，從而可得a_n；
（2）表示出b_n，進(jìn)而可得

1

bn

，并拆項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法可求和，由和可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵

1

2

，a_n，S_n成等差數(shù)列，
∴2a_n=

1

2

+s_n，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=

1

2

+a₁，解得a₁=

1

2

；
當(dāng)n≥2時(shí)，s_n=2a_n-

1

2

，s_n-1=2a_n-1-

1

2

，兩式相減得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴

an

an-1

=2，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

2

•2^n-1=2^n-2．
（2）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）
=log222n+1-2×log222n+3-2
=（2n-1）（2n+1），
∴

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬中檔題．