Question

已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x+1)=

1

f(x)

，且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），則f（-2010）+f（2011）的值為

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意利用仿寫的方法可得：對(duì)于x≥0，都有f（x+2）=f（x），可得當(dāng)x≥0時(shí)函數(shù)的周期為T=2，然后由函數(shù)為偶函數(shù)可得f（-2 010）+f（2 011）=f（0）+f（1），代入可求．

解答：解：因?yàn)閷?duì)于x≥0，都有f(x+1)=

1

f(x)

，
所以f(x+2)=

1

f(x+1)

，
所以f（x）=f（x+2），
所以函數(shù)的周期為T=2．
∵函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，x∈[0，2），f（x）=log₂（x+1），
∴f（-2010）+f（2011）=f（2010）+f（2011）=f（0）+f（1）=log₂1+log₂（1+1）=1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：題考查了函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期的綜合運(yùn)用，及轉(zhuǎn)化的思想在解題中的運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)及一些常用的反映函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論．