Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，
（1）若m=2，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若m=2，則f（x）= ，

當(dāng)1≤x＜3時(shí)，f（x）=log3x﹣2，﹣2≤f（x）≤﹣1，f（x）min=﹣2

當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=3（x﹣2）（x﹣4）=3（x﹣3）2﹣3，f（x）min=﹣3

∴f（x）的最小值為﹣3

（2）解：①若f（x）在1≤x＜3時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，則m＜0或 ，∴0≤m＜1

此時(shí)需f（x）在x≥3時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，

∴ ∴m無(wú)解，

②若f（x）在1≤x＜3時(shí)無(wú)零點(diǎn)，則m＜0或1﹣m≤0，即m＜0或m≥1，此時(shí)f（x）在x≥3時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在x≥3時(shí)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在x≥3時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，則m≥3

綜上，m的取值范圍為[3，+）

【解析】1、把m的值代入可得分段函數(shù)，分析每一個(gè)函數(shù)的最小值，分別根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)1≤x＜3時(shí)，f（x）min=﹣2。當(dāng)x≥3時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的最值情況求得f（x）min=﹣3，即最小值為-3.
2、利用反證法可得若f（x）在1≤x＜3時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)不成立，當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在x≥3時(shí)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意故即得f（x）在x≥3時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)成立則m≥3。