在數(shù)列中{an}，a1=1，3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（2）若λan-an+1≤0對任意的正整數(shù)N恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
分析：（1）將3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得：
1
an
-
1
an-1
=3(n≥2)，可得{
1
an
}為等差數(shù)列，由此求出數(shù)列{
1
an
}的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入λan-an+1≤0，分離參數(shù)，得到λ≤
an+1
an
，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可解決；
解答：解：（1）由題意知數(shù)列各項(xiàng)不為0，
由3anan-1+an-an-1=0，得3+
1
an-1
-
1
an
=0，
所以
1
an
-
1
an-1
=3(n≥2)，
所以數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為3，
則
1
an
=1+（n-1）•3=3n-2，所以an=
1
3n-2
；
（2）若λan-an+1≤0恒成立，即λ≤
an+1
an
恒成立，整理得：λ≤
3n-2
3n+1
=1-
3
3n+1
，
設(shè)f（x）=1-
3
3x+1
，可知f（x）在x∈（-
1
3
，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)n=1時(shí)，[1-
3
3n+1
]min=
1
4
，
所以λ的取值范圍為λ∈（-∞，
1
4
]．
點(diǎn)評：考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中正確的有
 
．（填寫所有正確命題的序號）
①在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
②若△ABC為銳角三角形，則sinA＞cosB；
③若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列an+2an+1仍為等差數(shù)列；
④若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列an+2an+1仍為等比數(shù)列；
⑤當(dāng)x∈(0，
π
2
]時(shí)，y=sinx+
2
sinx
的最小值是2
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列（an）中，an=2n-7，則當(dāng)前n項(xiàng)和取得最小值時(shí)的n的等于（　�。�
A、3B、4C、3或4D、4或5

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列五個(gè)命題
①若b2=ac，則a，b，c成等比數(shù)列；
②若{an}是等比數(shù)列，且Sn=3 n+1+r，則r=-1；
③若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n+1，則數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列；
④已知
2
x
+
3
y
=2，(x＞0，y＞0)，則xy的最小值是6．
⑤在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB．
請把正確的命題的題號都填在后面的橫線上
③④⑤
③④⑤
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α為銳角，且tanα=
2
-1，函數(shù)f(x)=2xtan2α+sin(2α+
π
4
)，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，∠C=
π
3
，BC=2，求△ABC的面積
（3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）已知數(shù)列{bn}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N*都有bn+r=bn，則稱數(shù)列{bn}為周期數(shù)列，T是它的一個(gè)周期．例如：
數(shù)列a，a，a，a，…①可看作周期為1的數(shù)列；
數(shù)列a，b，a，b，…②可看作周期為2的數(shù)列；
數(shù)列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期為3的數(shù)列…
（1）對于數(shù)列②，它的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是an =
a   n為正奇數(shù)
b    n為正偶數(shù)
，試再寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列③的前n項(xiàng)和Sn；
（3）在數(shù)列③中，若a=2，b=
1
2
，c=-1，且它有一個(gè)形如bn=Asin（ωn+φ）+B的通項(xiàng)公式，其中A、B、ω、φ均為實(shí)數(shù)，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，求該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式bn．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案