Question

15．已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），在$x=\frac{π}{12}$時取得最大值4．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若$f（{\frac{2}{3}α+\frac{π}{12}}）=\frac{12}{5}$，求sinα．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出A、φ的值即可；
（Ⅱ）利用利用f（x）的解析式，結(jié)合二倍角公式求出sinα的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，x∈R，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{12}$時取得最大值4，
∴A=4，且3×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，
即φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=4sin（3x+$\frac{π}{4}$）；
（Ⅱ）∵f（x）=4sin（3x+$\frac{π}{4}$），
且f（$\frac{2}{3}$α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{12}{5}$，
∴4sin（2α+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{12}{5}$，
即sin（2α+$\frac{π}{2}$）=cos2α=$\frac{3}{5}$，
∴cos2α=1-2sin²α=$\frac{3}{5}$，
即sin²α=$\frac{1}{5}$，
解得sinα=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換問題，是基礎(chǔ)題目．