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【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區(qū)間；

（2）當時，若，恒成立，求實數的最小值.

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增.（2）

【解析】

（1）按絕對值定義分類討論后求導數（在定義域內），確定導數的正負，得單調區(qū)間；

（2）不等式變形為，設.分類，用特例說明不等式不恒成立，時，求導數，確定的單調性，最值得結論．

（1）當時，

當時，，

，

∴在上單調遞減；

當時則在上單調遞減，在上單調遞增.

，

則在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）當時，，

則對恒成立.

即，設.

①當時，，不合題意，舍去；

②當時，.

令，得，.

i）當時，，在上恒成立，

則在上單調遞增，∴，成立.

ii）當時，，對，，，

不合題意，舍去.

綜上，的最小值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

（1）若，求證：

（2）若，恒有，求實數的取值范圍.

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【題目】已知動點到定點的距離比到軸的距離多.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

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【題目】2019年安慶市在大力推進城市環(huán)境、人文精神建設的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識"的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數據，其頻率分布直方圖如圖：

（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求P（）；

（2）在（1）的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：

（i）得分不低于可獲贈2次隨機話費，得分低于則只有1次：

（ii）每次贈送的隨機話費和對應概率如下：

贈送話費（單位：元）

10

20

概率

現有一位市民要參加此次問卷調查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列.附：，若，則，.

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【題目】某中學高三數學奧林匹克競賽集訓隊的一次數學測試成績的莖葉圖（圖1）和頻率分布直方圖（圖2）都受到不同程度的破壞，可見部分如圖所示，據此解答如下問題．

（1）求該集訓隊總人數及分數在[80，90）之間的頻數；

（2）計算頻率分布直方圖中[80，90）的矩形的高；

（3）若要從分數在[80，100]之間的試卷中任取兩份分析學生的答題情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數在[90，100]之間的概率．

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【題目】已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.

（1）判斷點是否在直線上？說明理由；

（2）設點是△的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.

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【題目】密云某商場舉辦春節(jié)優(yōu)惠酬賓贈券活動，購買百元以上單件商品可以使用優(yōu)惠劵一張，并且每天購物只能用一張優(yōu)惠券．一名顧客得到三張優(yōu)惠券，三張優(yōu)惠券的具體優(yōu)惠方式如下：

優(yōu)惠券1：若標價超過50元，則付款時減免標價的10%；

優(yōu)惠券2：若標價超過100元，則付款時減免20元；

優(yōu)惠券3：若標價超過100元，則超過100元的部分減免18%．

如果顧客需要先用掉優(yōu)惠券1，并且使用優(yōu)惠券1比使用優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多，那么你建議他購買的商品的標價可以是__________元．

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【題目】秉承“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市環(huán)保部門通過制定評分標準，先對本市的企業(yè)進行評估，評出四個等級，并根據等級給予相應的獎懲，如下表所示：

評估得分

評定等級

不合格

合格

良好

優(yōu)秀

獎勵（萬元）

環(huán)保部門對企業(yè)評估完成后，隨機抽取了家企業(yè)的評估得分（分）為樣本，得到如下頻率分布表：

評估得分

頻率

其中、表示模糊不清的兩個數字，但知道樣本評估得分的平均數是.

（1）現從樣本外的數百個企業(yè)評估得分中隨機抽取個，若以樣本中頻率為概率，求該家企業(yè)的獎勵不少于萬元的概率；

（2）現從樣本“不合格”、“合格”、“良好”三個等級中，按分層抽樣的方法抽取家企業(yè)，再從這家企業(yè)隨機抽取家，求這兩家企業(yè)所獲獎勵之和不少于萬元的概率.

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【題目】某單位準備購買三臺設備，型號分別為已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規(guī)定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數.該單位調查了這三種型號的設備各60臺，調査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數，并得到統(tǒng)計表如下所示.

每臺設備一個月中使用的易耗品的件數

6

7

8

型號A

30

30

0

頻數

型號B

20

30

10

型號C

0

45

15

將調查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立.

（1）求該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數超過21件的概率；

（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品？

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