Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3x

，定義a_n=f（n），b_n=log₃（

1

2

a_n+1）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求滿足方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

的正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=f（n）=

2

3n

，可得b_n=-n-1．
（2）由（1）可得

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．因此方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

，化為

1

2

-

1

n+2

=

25

51

，即可解出．

解答： 解：（1）∵a_n=f（n）=

2

3n

，
∴b_n=log₃（

1

2

a_n+1）=log3(

1

2

×

2

3n+1

)=-n-1．
（2）由（1）可得

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
∴方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

，化為(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

25

51

，
解得n=49．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．