Question

如圖，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁是邊長為2的菱形，∠A₁AC＝60^o．在面ABC中，AB＝2，BC＝4，M為BC的中點，過A₁，B₁，M三點的平面交AC于點N．

    (1)求證：N為AC中點；

    (2)平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．

Answer 1

解 (1)由題意，平面ABC//平面A₁B₁C₁，

平面A₁B₁M與平面ABC交于直線MN，與平面A₁B₁C₁交于直線A₁B₁，所以MN// A₁B₁．

因為AB// A₁B₁，所以MN//AB，所以＝．

因為M為AB的中點，所以＝1，所以N為AC中點．

  (2)因為四邊形A₁ACC₁是邊長為2的菱形，∠A₁AC＝60^o．  

在三角形A₁AN中，AN＝1，AA₁＝2，由余弦定理得A₁N＝， 

故A₁A²＝AN²＋A₁N²，從而可得∠A₁NA＝90^o，即A₁N⊥AC．

在三角形ABC中，AB＝2，AC＝2，BC＝4，

則BC²＝AB²＋AC²，從而可得∠BAC=90^o，即AB⊥AC．

又MN//AB，則AC⊥MN．

因為MN∩A₁N＝N，MN 面A₁B₁MN，A₁N面A₁B₁MN，

所以AC⊥平面A₁B₁MN．

又AC平面A₁ACC₁，所以平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．