(本小題滿分13分)已知橢圓的離心率為,右焦點到直線的距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)過橢圓右焦點斜率為的直線與橢圓C相交于E、F兩點,A為橢圓的右頂點,直線AE,AF分別交直線于點M,N,線段MN的中點為P,記直線的斜率為,求證:為定值.

(Ⅰ)(Ⅱ)

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)離心率為,可得之間的關系,再右焦點到直線的距離為,就可求出的值,從而求出的值(2)解決直線和橢圓的綜合問題時注意:第一步:根據(jù)題意設直線方程,有的題設條件已知點,而斜率未知;有的題設條件已知斜率,點不定,可由點斜式設直線方程.第二步:聯(lián)立方程:把所設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個元,得到一個一元二次方程.第三步:求解判別式:計算一元二次方程根.第四步:寫出根與系數(shù)的關系.第五步:根據(jù)題設條件求解問題中結論.

試題解析:(Ⅰ)由題意得,, 2分

所以,,所求橢圓方程為. 4分

(Ⅱ)設過點 的直線方程為:,

設點,點, 5分

將直線方程代入橢圓,

整理得: 6分

因為點在橢圓內,所以直線和橢圓都相交,恒成立,

7分

直線的方程為:,直線的方程為:

,得點,,所以點的坐標, 9分

直線 的斜率為

, 11分

代入上式得:

,

所以為定值. 13

考點:(1)橢圓的方程; (2)直線與橢圓的綜合問題.

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