Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足三點(diǎn)的圓與直線相切.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（m，0），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）連接，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051131729590.png" style="vertical-align:middle;" />，可得      (1)
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051131760664.png" style="vertical-align:middle;" />的外接圓與直線相切，所以有    (1)
解由(1)(2)組成的方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）由（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,所以,設(shè)直線的方程為：，.由方程組：消去得,由韋達(dá)定理求出
的表達(dá)式,寫出線段MN的垂直平分線的方程,并求出的表達(dá)式,進(jìn)而用函數(shù)的方法求其取值范圍,要注意直線斜率不存在及斜率為0情況的討論.
解：（1）連接，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051131729590.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
即，則，.                  3分
的外接圓圓心為，半徑    4分
由已知圓心到直線的距離為，所以，解得，所以，，
所求橢圓方程為.                          6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051131807549.png" style="vertical-align:middle;" />，設(shè)直線的方程為：，.
聯(lián)立方程組：，消去得.  7分
則，，
的中點(diǎn)為.                       8分
當(dāng)時(shí)，為長(zhǎng)軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則.          9分
當(dāng)時(shí)，垂直平分線方程
令，所以 
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051132618575.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，可得，           12分
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是                    13分