Question

已知a_n=2n-1，設(shè)T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

…+

1

anan+1

，是否存在m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先確定數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步利用裂項相消法求數(shù)列的和，再進(jìn)一步利用等比中項求出m和n的關(guān)系式，進(jìn)行討論求出結(jié)果．

解答： 解：已知a_n=2n-1，
所以：a_n+1=2n+1，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

所以：T1=

1

3

，Tm=

m

2m+1

，Tn=

n

2n+1

若T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列
所以：(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)
整理得：

(2m+1)2

m2

=

3(2n+1)

n

=6+

3

n

所以：n=

3m2

-2m2+4m+1

=

3

( 1 m +2)2-6

由于n＞0
所以：(

1

m

+2)2-6＞0
解得：m＜

2+ 6

2

當(dāng)m=2，n=12
所以存在m=2，n=12
使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列成立．

點評：本題考查的知識要點：利用裂項相消法求數(shù)列的和，等比中項的應(yīng)用．存在性問題的判斷．屬于中等題型．