Question

已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項(xiàng)，問(wèn)它們有多少相同的項(xiàng)？并求所有相同項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：根據(jù)兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來(lái)的先后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來(lái)兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)求解，或由條件可知兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可用不定方程的求解方法來(lái)求解．

解答：解：解法一：設(shè)兩個(gè)數(shù)列相同的項(xiàng)按原來(lái)的前后次序組成的新數(shù)列為{a_n}，則a₁=11．
∵數(shù)列5，8，11，…與3，7，11，…公差分別為3與4，
∴{a_n}的公差d=3×4=12，
∴a_n=12n-1．
又∵5，8，11，…與3，7，11，…的第100項(xiàng)分別是302與399，
∴a_n=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N^*，
∴兩個(gè)數(shù)列有25個(gè)相同的項(xiàng)．
其和S₂₅=11×25+

25×24

2

×12=3875．
解法二：設(shè)5，8，11，與3，7，11，分別為{a_n}與{b_n}，則a_n=3n+2，b_n=4n-1．
設(shè){a_n}中的第n項(xiàng)與{b_n}中的第m項(xiàng)相同，
即3n+2=4m-1，∴n=

4

3

m-1．
又m、n∈N^*，∴設(shè)m=3r（r∈N^*），
得n=4r-1．
根據(jù)題意得

1≤3r≤100 1≤4r-1≤100

解得1≤r≤25（r∈N^*）．
從而有25個(gè)相同的項(xiàng)，且公差為12，
其和S₂₅=11×25+

25×24

2

×12=3875．

點(diǎn)評(píng)：解法1利用了等差數(shù)列的性質(zhì)，解法2利用了不定方程的求解方法，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高．