Question

已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…；                                      ①

3，7，11，….                                                                ②

它們的項(xiàng)數(shù)為100項(xiàng)，請(qǐng)問(wèn)它們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng).

Answer 1

思路解析：求出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，令兩式相等，發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)的關(guān)系即得.

解法一：由數(shù)列①，得a_n=3n+2，由數(shù)列②得a_m=4m-1.

其中1≤n≤100，1≤m≤100，

據(jù)題意有a_n=a_m，即3n+2=4m-1，

∴n=m-1.

由于n、m均為自然數(shù)，必有m=3t，t∈N^*，

即n=4t-1.

∴

由于t∈N^*，故最大的t值是25.

因此，它們有25個(gè)數(shù)值相同的項(xiàng).

解法二：設(shè)兩個(gè)數(shù)列的共同項(xiàng)組成新數(shù)列｛c_n｝，則c₁=11.

又?jǐn)?shù)列①的通項(xiàng)公式a_n=3n+2.

數(shù)列②的通項(xiàng)公式b_n=4n-1.

∴數(shù)列｛c_n｝仍為等差數(shù)列，且公差d=12.

c_n=11+（n-1）×12=12n-1，而a₁₀₀=302，b₁₀₀=399.

∴c_n=12n-1≤302，得n≤25.25.

因此，兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng).