Question

已知等差數列{a_n}的公差d∈N^*，且a₁=16，若數列{a_n}中任意兩項之和仍是該數列中的一項，則d的所有可能取值的和為

31

．

Answer 1

分析：先求出數列的通項公式，求出數列{a_n}中任意兩項之和，根據數列{a_n}中任意兩項之和仍是該數列中的一項求出d=

16

k+1-m-n

；再結合k，m，n，d∈N^*，即可求出d的所有可能取值進而求出結論．

解答：解：設等差數列的公差為d，則a_n=16+（n-1）d．
所以數列{a_n}中任意兩項之和a_m+a_n=16+（m-1）d+16+（n-1）d=32+（m+n-2）d
設任意一項為a_k=16+（k-1）d．
則由a_m+a_n=a_k⇒16=-（m+n-k-1）d⇒d=

16

k+1-m-n

．
又因為k，m，n，d∈N^*，
∴m+n-k-1=1，2，4，8，16
∴d=1，2，4，8，16．
∴d的所有可能取值的和為1+2+4+8+16=31．
故答案為31．

點評：本題主要考查等差數列的性質．解決問題的關鍵在于利用數列{a_n}中任意兩項之和仍是該數列中的一項求出d=

16

k+1-m-n

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