Question

已知半徑為4的球面上有四點(diǎn)，S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為2，面SAB⊥面ABC，則棱錐S-ABC體積的最大值為（　　）

• A、9

  39

  +18

  3

• B、3

  39

  +6

  3

• C、3

  39

  +8

  3

• D、9

  39

  +6

  3

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上，D為AB中點(diǎn)時，SD最大，棱錐S-ABC的體積最大．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱錐的體積公式即可得到最大值．

解答： 解：由題意畫出幾何體的圖形如圖
由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上，
由于OO′⊥平面ABC，SD⊥平面ABC，即有OO′∥SD，
當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時，SD最大，棱錐S-ABC的體積最大．
由于OC=4，OO′=2，則CO′=

16-4

=2

3

，
則DO'=

3

，則△ABC是邊長為6的正三角形，
則△ABC的面積為：

3

4

×36=9

3

．
在直角梯形SDO′O中，SD=2+

42-( 3 )2

=2+

13

．
即有三棱錐S-ABC體積V=

1

3

×9

3

×（2+

13

）=6

3

+3

39

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查錐體體積計(jì)算，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定出S位置是關(guān)鍵．考查空間想象能力、計(jì)算能力．