Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁體積為32，且底面四邊形ABCD為直角梯形，其中上底BC=2，下底AD=6，腰AB=2，且BC⊥AB．
（文科）：
（1）求異面直線B₁A與直線C₁D所成角大小；
（2）求二面角A₁-CD-A的大��；
（理科）：
（1）求異面直線B₁D與直線AC所成角大�。�
（2）求點C到平面B₁C₁D的距離．

Answer 1

【答案】分析：（文科）（1）本題圖形中出現(xiàn)了同一點出發(fā)的三條兩兩垂直的線段，故可以建立空間坐標(biāo)系用向量法求解，寫出要用的點的坐標(biāo)，得到對應(yīng)的異面直線的方向向量，根據(jù)向量所成的角得到結(jié)果．
（2）設(shè)出一個平面的法向量，根據(jù)向量垂直的條件，得到法向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫出其中一個，另一個平面上的法向量可以看出法向量，根據(jù)兩個向量所成的角得到二面角．
（理科）（1）本題圖形中出現(xiàn)了同一點出發(fā)的三條兩兩垂直的線段，故可以建立空間坐標(biāo)系用向量法求解，寫出要用的點的坐標(biāo)，得到對應(yīng)的異面直線的方向向量，根據(jù)向量所成的角得到結(jié)果．
（2）根據(jù)三棱錐D-B₁C₁C的體積易得，故可用等體積法求解，由于VD-B₁C₁C=VC-B₁C₁D，點D到面B₁C₁C的距離是2，三角形B₁C₁C的面積是4，又點D到線B₁C₁的距離為2，故三角形DB₁C₁的面積可得，代入求出點到面的距離
解答：解：直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁體積為32，且底面四邊形ABCD為直角梯形，其中上底BC=2，下底AD=6，腰AB=2，故可解得此棱柱的高是4
如圖，以AB所在直線為X軸，以AD所在直線為Y軸，以AA1所在直線為Z軸建立空間坐標(biāo)系，由上知A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，6，0），A₁（0，0，4），B₁（2，0，4），C₁（2，2，4），D₁（0，6，4）
（文科）：
（1）由題意=（-2，0，-4），=（-2，4，-4）
兩向量夾角的余弦值為=
故兩直線所成的角為arccos
（2）由于面ACD是坐標(biāo)平面，故其法向量可設(shè)為（0，0，1），令平面A₁CD的法向量是=（x，y，z），由于=（-2，4，0），=（2，2，-4），
又，故有，令y=1，則x=2，z=1，故=（2，1，1）
∴二面角A₁-CD-A的余弦的大小為
故二面角A₁-CD-A的大小為arccos
（理科）：
（1）由圖知=（-2，6，-4），=（2，2，0），兩向量夾角的余弦是=
故異面直線B₁D與直線AC所成角大小為arccos；
（2）考察圖形，三棱錐D-B₁C₁C的體積易得，故可用等體積法求解，
由于=
由圖知，點D到面B₁C₁C的距離是2，三角形B₁C₁C的面積是4，故=
又點D到線B₁C₁的距離為2，故三角形DB₁C₁的面積是×2×2=2
故點C到平面B₁C₁D的距離為=
點評：本題考查異面直線所成的角和二面角及點到線的距離，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把立體幾何理論推導(dǎo)變化成數(shù)字的運算，這樣降低了題目的難度，但是不利于鍛煉學(xué)生的理論推導(dǎo)能力．